Conheça Süss, um widget de matemática em busca do seu próprio coração. (Você também pode visitar o widget em seu site aquio que você pode querer fazer se estiver lendo isso em um smartphone.)
Como muitas figuras geométricas, um coração pode ser capturado em toda a sua glória curvilínea por uma única equação algébrica. A equação para uma esfera parece bastante simples: x²+y²+z²=1. Um coração é algo mais complexo:
(x²+((1+b)y)²+z²-1)³-x²z³-ay²z³=0
Süss – alemão para “doce” – é um widget interativo que permite ajustar a álgebra e personalizar o coração para o deleite de suas almas. Foi criado para o Dia dos Namorados pela Imaginary, uma organização sem fins lucrativos em Berlim que projeta programas e exposições de matemática de código aberto.
Você pode esticar e apertar o coração movendo os dois controles deslizantes mais à esquerda, que alteram os parâmetros “a” e “b”; o controle deslizante mais à direita aumenta e diminui o zoom. Melhor ainda, confunda diretamente com a equação de Süss e envolva-se na interação dialética entre álgebra e geometria. (Mude esse z³ final para um z² para ver o coração em sua calcinha.)
No século XVII, o matemático e filósofo francês René Descartes construiu uma ponte entre os domínios algébrico e geométrico quando concebeu o sistema cartesiano de coordenadas. (Ele também classificou seis paixões primitivas: admiração e amor, ódio e desejo, tristeza e alegria.)
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Süss — ocupando o espaço tridimensional, definido pelas coordenadas x, y e z — também incorpora um conceito mais recente: “pontos extremos”, ou “singularidades”, que são seu próprio objeto de estudo no campo da geometria algébrica.
“Se você observar o formato do coração, verá um pico na parte inferior e outro pico no topo”, disse Andreas Daniel Matt, matemático e diretor da Imaginary. (O pico no topo é recuado.)
Em geral, uma singularidade normalmente corresponde a um salto em um processo contínuo. Na física, é um ponto com um valor infinito. A singularidade do Big Bang é a maior singularidade da história do universo. Na relatividade geral, uma singularidade é o coração de um buraco negro do qual nunca sairíamos.
Uma “singularidade nua”, em contraste, seria mais indulgente (embora não se pense que realmente exista na natureza). “A grosso modo, uma singularidade nua é aquela na qual você pode cair e escapar”, disse Roger Penrose, físico matemático da Universidade de Oxford, que tem um artigo sobre teoremas de singularidade no próximo livro “Topologia e Física”.
Uma singularidade é onde as coisas dão errado, disse o Dr. Matt, como também acontece no amor: “Os picos super altos e os picos super baixos. O amor é cheio de pontos extremos.”
Matematicamente, as singularidades são dotadas de propriedades especiais, e são essas propriedades que causam problemas. Uma singularidade é frágil — pode se romper com mudanças muito pequenas na equação; superfícies anteriormente unidas podem se separar. Quando as singularidades se quebram, “elas são muito difíceis de entender, estudar e especialmente resolver”, disse o Dr. Matt.
Para ver uma singularidade em ação, substitua a equação no widget Süss por uma diferente: x²+y²-z ²-a+0,5. (Mas use esta versão um pouco feia — x^2+y^2-z^2-a+0.5 — então funciona no widget.) Em seguida, brinque com o controle deslizante mais à esquerda (parâmetro a) e observe o ponto onde o cone duplo se separa e onde os cones se unem novamente.
Antes de Süss ser um widget interativo, era um membro do Galeria de Singularidadesuma coleção de superfícies algébricas criadas e curadas em 2006 por Herwig Hauser, geômetra da Universidade de Viena e mestre em resolver singularidades.
Outros espécimes da galeria incluem “Flirt”, “Daisy” – nomeado para a namorada do Pato Donald – e “Solitude”. (A palavra “singularidade” vem do latim “singularis”, que significa sozinho.)
É verdade que algumas das entidades na galeria não parecem tão singulares – “Sphäre”, por exemplo. Mas com as técnicas matemáticas corretas, disse Hauser, ele poderia espremer aquela esfera em um ponto. “Ou eu poderia sentar nele”, acrescentou.
O processo de identificação de superfícies algébricas intrigantes que possuíam singularidades às vezes levava dias para o Dr. Hauser e seus alunos. Na maioria das vezes, os resultados eram incompatíveis: equações atraentes deram origem a formas com pouco apelo matemático. Dr. Hauser era casamenteiro, essencialmente.
“Às vezes você joga completamente no lado algébrico”, disse ele. “Você conecta uma equação e descobre como é o objeto geométrico. E às vezes você faz o oposto.”
O oposto – engenharia reversa, ter uma figura em mente e então encontrar a equação que a gera – é muito mais difícil, quase impossível. No entanto, há dez anos, Valentina Galata, então estudante do ensino médio, viu um pôster do coração de Süss durante uma excursão de aula de matemática a uma exposição do Surfer, software de renderização feito pela Imaginary que permite aos usuários experimentar a criação de superfícies algébricas. Inspirado, Galata criou uma coleção de naturezas-mortas como “Cerejas” e “Colher”.
Ela não achou a tarefa impossível. “Desafiador é uma palavra melhor para isso”, disse Galata, agora Ph.D. estudante de bioinformática na Saarland University, na Alemanha. “Foi divertido ter uma ferramenta, usando fórmulas para aproximar as formas que você tem na cabeça, em vez de apenas desenhar no papel.”
Dr. Hauser, um purista, não gosta de renderizar objetos da vida real. Na verdade, ele não está particularmente apaixonado por Süss. Muitas pessoas adoraram demais: tornou-se o coração do pôster para superfícies algébricas – em milhares de pôsteres reais em centenas de escolas alemãs e em uma instalação para um estacionamento de shopping center.
“É apenas kitsch”, disse ele. “Matematicamente, não é tão interessante.”
Sebastian Gann, um dos ex-Ph.D do Dr. Hauser. alunos do projeto Galeria de Singularidades, ainda acha Süss mais atraente.
“O fascínio intrínseco permanece”, disse ele. “Olhar para a imagem de um símbolo emocionalmente carregado e saber que a forma particular é definida por algumas matemáticas sóbrias. Como você percebe isso?”
Dr. Hauser prefere “Herz” (alemão para “coração”), que se parece um pouco mais com um coração humano real:
Herz é atraente para o que não está lá, ele disse: “Como você cria um buraco em uma superfície quando escolhe uma equação?”
Uma das maiores questões dentro da geometria algébrica é como “resolver” singularidades – isto é, como se livrar delas. Matematicamente, resolver uma singularidade significa suavizar os picos problemáticos em uma superfície, mas isso geralmente requer saltar para uma dimensão mais alta.
Infelizmente, ao resolver assuntos do coração, essa estratégia raramente funciona.
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